Recibido: 15 de septiembre de 2022 / Aceptado: 30 de noviembre de 2022
“Caminos geométricos” en el espacio bidimensional de Minkowski para obtener las transformaciones de Lorentz y sus consecuencias.
“Geometric paths” in the two-dimensional Minkowski space to obtain the Lorentz transformations and their consequences.
REF-UNAH-V11N1
F.J. GARAY¹
¹ Escuela de Física. Universidad Nacional Autónoma de Honduras. felipe.garay@unah.edu.hn
Resumen
En este artículo se aborda un modo no habitual (poco usado en la bibliografía sobre Relatividad Restringida) de llegar a las conocidas transformaciones de Lorentz a partir de consideraciones provenientes del espacio bidimensional de Minkowski. Su característica fundamental, proveniente de la forma no euclidiana del elemento de longitud, es que para pasar de un sistema de referencia a otro se usan rotaciones hiperbólicas; esto supone dejar los círculos (habituales en las rotaciones euclidianas) y pasar a las hipérbolas. Usando esta geometría hiperbólica y las relaciones para ángulos hiperbólicos (equivalentes y muy parecidas a las de ángulos circulares) se generan fácilmente las transformaciones de Lorentz. Para obtener la dilatación temporal, la contracción de longitud y la suma relativista de velocidades se utilizan el espacio minkowskiano y geometría sencilla. Por otro lado, como se sabe, el conocido enfoque de simetrías (vía grupo de Lorentz o Poincaré), es más potente con el análisis tensorial y muy físico. Si bien este enfoque geométrico no es tan poderoso, es muy sencillo y sin duda presenta un carácter pedagógico especialmente para pregrado. Y, por supuesto, si quisiéramos pasar del espacio bidimensional al cuatridimensional, esta vía geométrica se complicaría mucho.
Abstract
This article deals with an unusual way (barely used in the literature on Special Relativity) to arrive at the well-known Lorentz transformations from considerations coming from the two-dimensional Minkowski space. Its fundamental characteristic, coming from the non-Euclidean form of the element of length, is that hyperbolic rotations are used to move from one reference system to another; this supposes to leave the circles (usual in the Euclidean rotations) and to happen to the hyperbolas. Using this hyperbolic geometry and the relations for hyperbolic angles (equivalent and very similar to those for circular angles) Lorentz transformations are easily generated. To obtain the time dilation, the length contraction and the relativistic sum of velocities, the Minkowskian space and simple geometry are used. On the other hand, as is known, the well-known symmetry approach (via the Lorentz or Poincare group), is more powerful with tensorial and very physical analysis. Although this geometric approach is not as powerful, it is very simple and certainly has a pedagogical character especially for undergraduates. And, of course, if we go from two-dimensional space to four-dimensional space, this geometric path would become much more complicate.
PALABRAS CLAVES:
Caminos geometricos, espacio de minkowski, espacio bidimensional, transformaciones de lorentz.
KEYWORDS:
Geometric paths, minkowski space, two-dimensional space, lorentz transformations.
Documentos
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50 pdf 589 KB 13/10/2023 5:49pm |
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